Три проекции точки симметрично данной, относительно OX, OY, OZ или началу координат

Предварительно изучим немного теории, после чего опишем, как будет происходить вычисление координат точек.

Проекция точки, симметричной данной относительно OX

Перед построением проекций точек, рассмотрим как эти точки будут себя вести в пространстве. В нашем случае, если имеется некоторая точка А, необходимо построить точку B, симметрично оси ОХ. Предварительно отрисовываются проекции самой точки А. Это горизонтальная, фронтальная и профильная проекции. Далее идет построение точки B. На рисунке можно заметить, что координата точки В по оси OX будет совпадать с координатой точки A. Координаты же по оси OY и OZ так же будут совпадать по модулю, но будут направлены в противоположную сторону, относительно оси OX. В результате, можно построить саму точку B (она подписана без индекса). Далее, имея две проекции и положение точки B строится третья проекция.

Проекция точки, симметричной данной относительно OY

При построении проекции точки B симметрично точке A относительно оси Y следует учитывать, что координата точки B по этой оси будет так же совпадать с координатой для точки А. Далее, расстояние от точки A₁ до оси Y переносится в противоположную сторону, где будет отрисована проекция точки B (B₁). После этого, расстояние от точки A₃ до оси OY переносится вниз, где строится проекция точки B₃. Проведя из точек B₃ и B₁ перпендикуляры к плоскостям П₃ и П₁ находим точку B. Далее, имея две проекции и положение точки, находим и недостающую проекцию.

Проекция точки, симметричной данной относительно OZ

Если необходимо построить проекцию точки относительно оси OZ, в таком случае, координата точки по оси Z будет совпадать. Расстояния от проекции A₂ до OZ переносится в противоположную сторону, как и расстояние от проекции A₃ до OZ. В результате построений, находится точки B, после чего ее проекция на П₁. Данные инструменты описаны наглядно, для дальнейшего понимания самого построения.

Проекция точки, симметричной данной относительно начала координат 0

В случае, когда стоит задача в построении проекции точки, симметричной данной относительно начала координат, стоит рассмотреть сами координаты. В нашем случае, точка А имеет положительные координаты. Для точки, которая будет симметрична точке отсчета, все координаты будут менять свой знак на противоположный. А значения будут оставаться такими же, но противоположными по направлению. Имеется в виду, что все координаты будут направлены в противоположную сторону. Имея эти данные, можно построить саму точку и далее, все три ее проекции.

Построение проекций точек на эпюре Монжа

Описанные выше примеры построены в аксонометрической проекции, которые помогают в понимании в пространстве. Для построения же на эпюре Монжа, следует воспользоваться анализом координат. К примеру, если есть точка A с координатами (10, 30, 45) и нужно построить проекции точек, симметричные данной относительно оси ОХ. Так как было описано выше, координату по оси Х не меняем, а две остальные меняем на противоположные. В результате получаем координаты точки B (10, -30, -45). Остается только построить проекции этой точки на эпюре. Таким же образом решаются задачи и для остальных осей. Для точки отсчета будут координаты (-10, -30, -45).

Нахождение проекций точки онлайн

Задачи на нахождение точки симметрично некоторой оси хорошо решаются, если сама точка расположена в 1й четверти пространства и все координаты точки будут иметь положительное значение. Сложнее, когда некоторые координаты будут иметь знак "-". Такие случаи достаточно сложно представить в пространстве, а еще и сложнее отрисовать на эпюре Монжа. Именно для таких случаев и был создан данный инструмент.

На этой странице, чуть выше, представлен калькулятор, помогающий выполнить построение проекций онлайн. Достаточно лишь ввести координаты и задать условие для построения. Результат будет выведен в окне. Пример выполненного построения показан на картинке чуть выше.